因式分解与整式乘法是互逆的运算，是学好代数的基础之一. 因式分解的每一步都必须是恒等变形，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
常见的方法有:①提取公因式法;②公式法;③提公因式法与公式法的综合运用.
在对一个多项式因式分解时，首先应考虑提取公因式法，然后考虑公式法，对于某些多项式，如果从整体上不能利用上述方法因式分解，还要考虑对其进行分组、拆项、换元等.
一、提公因式法
1.1 公因式是单项式的因式分解
确定公因式的方法： ①系数:取各项系数的最大公因数; ②字母(或多项式):取各项都含有的字母(或多项式); ③指数:取相同字母(或多项式)的最低次幂. 注意:公因式可以是单独的一个数或字母，也可以是多项式，当第一项是负数时可先提负号，当公因式与多项式某一项相同时，提公因式后剩余项是1，不要漏项.
【例1】分解因式：
−
4
m
4
n
+
16
m
3
n
−
28
m
2
n
-4m^4n+16m^3n-28m^2n
−4m4n+16m3n−28m2n
解:原式=
−
4
m
2
n
(
m
2
−
4
m
+
7
)
.
-4m^2n(m^2-4m+7).
−4m2n(m2−4m+7).
1.2 公因式是多项式的因式分解
【例2】分解因式：
15
b
(
2
a
−
b
)
2
+
25
(
b
−
2
a
)
2
15b(2a-b)²+25(b-2a)²
15b(2a−b)2+25(b−2a)2
解:原式=
15
b
(
2
a
−
b
)
2
+
25
(
2
a
−
b
)
2
=
5
(
2
a
−
b
)
2
(
3
b
+
5
)
15b(2a-b)²+25(2a-b)²=5(2a-b)²(3b+5)
15b(2a−b)2+25(2a−b)2=5(2a−b)2(3b+5)
二、公式法
2.1 直接用公式法
【例3】分解因式： (1)
(
x
2
+
y
2
)
2
一
4
x
2
y
2
(x²+y²)²一4x²y²
(x2+y2)2一4x2y2 (2)
(
x
2
十
6
x
)
2
+
18
(
x
2
+
6
x
)
+
81
(x²十6x)²+18(x²+6x)+81
(x2十6x)2+18(x2+6x)+81
解:(1)原式=
(
x
2
+
y
2
+
2
x
y
)
(
x
2
+
y
2
−
2
x
y
)
=
(
x
+
y
)
2
(
x
−
y
)
2
(x²+y²+2xy)(x²+y²-2xy)=(x+y)²(x-y)²
(x2+y2+2xy)(x2+y2−2xy)=(x+y)2(x−y)2 (2)原式=
(
x
2
+
6
x
+
9
)
2
=
[
(
x
+
3
)
2
]
2
=
(
x
+
3
)
4
(x²+6x+9)²=[(x+3)²]²=(x+3)^4
(x2+6x+9)2=[(x+3)2]2=(x+3)4
2.2 先提再套法
【例4】分解因式：
−
3
x
7
+
24
x
5
−
48
x
3
-3x^7+24x^5-48x^3
−3x7+24x5−48x3 解:原式=
−
3
x
3
(
x
4
−
8
x
2
+
16
)
=
−
3
x
3
(
x
2
−
4
)
2
=
−
3
x
3
(
x
+
2
)
2
(
x
−
2
)
2
-3x^3(x^4-8x^2+16)=-3x^3(x^2-4)^2=-3x^3(x+2)^2(x-2)^2
−3x3(x4−8x2+16)=−3x3(x2−4)2=−3x3(x+2)2(x−2)2
2.3 先局部再整法
【例5】分解因式：
9
x
2
−
16
−
(
x
+
3
)
(
3
x
+
4
)
9x²-16-(x+3)(3x+4)
9x2−16−(x+3)(3x+4)
解:原式=
(
3
x
+
4
)
(
3
x
−
4
)
−
(
x
+
3
)
(
3
x
+
4
)
=
(
3
x
+
4
)
[
(
3
x
−
4
)
−
(
x
+
3
)
]
=
(
3
x
+
4
)
(
2
x
−
7
)
(3x+4)(3x-4)-(x+3)(3x+4)=(3x+4)[(3x-4)-(x+3)]=(3x+4)(2x-7)
(3x+4)(3x−4)−(x+3)(3x+4)=(3x+4)[(3x−4)−(x+3)]=(3x+4)(2x−7)
2.4 先展开再分解法
【例6】分解因式 ：
4
x
(
y
−
x
)
−
y
2
4x(y-x)-y²
4x(y−x)−y2
解:原式=
4
x
y
−
4
x
2
−
y
2
=
−
(
4
x
2
−
4
x
y
+
y
2
)
=
−
(
2
x
−
y
)
2
4xy-4x²-y²=-(4x²-4xy+y²)=-(2x-y)²
4xy−4x2−y2=−(4x2−4xy+y2)=−(2x−y)2
三、分组分解法
【例7】分解因式：
x
2
−
2
x
y
+
y
2
−
9
x²-2xy+y²-9
x2−2xy+y2−9
解:原式=
(
x
−
y
)
2
−
9
=
(
x
−
y
+
3
)
(
x
−
y
+
3
)
(x-y)²-9=(x-y+3)(x-y+3)
(x−y)2−9=(x−y+3)(x−y+3)
四、拆、添项法
【例8】分解因式：
x
4
+
4
x^4+4
x4+4 解:原式=
x
4
+
4
x
+
4
−
4
x
2
=
(
x
2
+
2
)
2
−
4
x
2
=
(
x
2
+
2
+
2
x
)
(
x
2
+
2
−
2
x
)
x^4+4x+4-4x^2=(x²+2)²-4x^2=(x²+2+2x)(x²+2-2x)
x4+4x+4−4x2=(x2+2)2−4x2=(x2+2+2x)(x2+2−2x)
五、整体法
5.1 "提"整体
【例9】分解因式：
a
(
x
+
y
−
z
)
−
b
(
z
−
x
−
y
)
−
c
(
x
−
z
+
y
)
a(x+y-z)-b(z-x-y)-c(x-z+y)
a(x+y−z)−b(z−x−y)−c(x−z+y)
解:原式=
a
(
x
+
y
−
z
)
+
b
(
x
+
y
−
z
)
−
c
(
x
+
y
−
z
)
=
(
x
+
y
−
z
)
(
a
+
b
−
c
)
a(x+y-z)+b(x+y-z)-c(x+y-z)=(x+y-z)(a+b-c)
a(x+y−z)+b(x+y−z)−c(x+y−z)=(x+y−z)(a+b−c)
5.2 "当"整体
【例10】分解因式：
(
x
+
y
)
2
−
4
(
x
+
y
−
1
)
(x+y)²-4(x+y-1)
(x+y)2−4(x+y−1)
解:原式=
(
x
+
y
)
2
−
4
(
x
+
y
)
+
4
=
(
x
+
y
−
2
)
2
(x+y)²-4(x+y)+4=(x+y-2)²
(x+y)2−4(x+y)+4=(x+y−2)2
5.3 "拆"整体
【例11】分解因式：
a
b
(
c
2
+
d
2
)
+
c
d
(
a
2
+
b
2
)
ab(c²+d²)+cd(a²+b²)
ab(c2+d2)+cd(a2+b2)
解:原式=
a
b
c
2
+
a
b
d
2
+
c
d
a
2
+
c
d
b
2
=
(
a
b
c
2
+
c
d
a
2
)
+
(
a
b
d
2
+
c
d
b
2
)
=
a
c
(
b
c
+
a
d
)
+
b
d
(
a
d
+
b
c
)
=
(
b
c
+
a
d
)
(
a
c
+
b
d
)
abc²+abd²+cda²+cdb²=(abc²+cda²)+(abd²+cdb²)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(bc+ad)(ac+bd)
abc2+abd2+cda2+cdb2=(abc2+cda2)+(abd2+cdb2)=ac(bc+ad)+bd(ad+bc)=(bc+ad)(ac+bd)
5.4 "凑"整体
【例12】分解因式：
x
2
−
y
2
−
4
x
+
6
y
−
5
x²-y²-4x+6y-5
x2−y2−4x+6y−5
解:原式=
(
x
2
−
4
x
+
4
)
−
(
y
2
−
6
y
+
9
)
=
(
x
−
2
)
2
+
(
y
−
3
)
2
=
[
(
x
−
2
)
+
(
y
−
3
)
]
[
(
x
−
2
)
−
(
y
−
3
)
]
=
(
x
+
y
−
5
)
(
x
−
y
+
1
)
(x²-4x+4)-(y²-6y+9)=(x-2)²+(y-3)²=[(x-2)+(y-3)][(x-2)-(y-3)]=(x+y-5)(x-y+1)
(x2−4x+4)−(y2−6y+9)=(x−2)2+(y−3)2=[(x−2)+(y−3)][(x−2)−(y−3)]=(x+y−5)(x−y+1)
六、换元法
【例13】分解因式：
(
a
2
+
2
a
−
2
)
(
a
2
+
2
a
+
4
)
+
9
(a²+2a-2)(a²+2a+4)+9
(a2+2a−2)(a2+2a+4)+9
解:设
a
2
+
2
a
=
m
a²+2a=m
a2+2a=m，则原式
=
(
m
−
2
)
(
m
+
4
)
+
9
=
m
2
+
4
m
−
2
m
−
8
+
9
=
m
2
+
2
m
+
1
=
(
m
+
1
)
2
=
(
a
2
+
2
a
+
1
)
2
=
(
a
+
1
)
4
=(m-2)(m+4)+9=m²+4m-2m-8+9=m²+2m+1=(m+1)²=(a²+2a+1)²=(a+1)^4
=(m−2)(m+4)+9=m2+4m−2m−8+9=m2+2m+1=(m+1)2=(a2+2a+1)2=(a+1)4
七、十字相乘法
十字相乘法分解因式非常重，在以后有关代数式的运算，解方程等知识中常常用到.
公式:
x
2
+
(
a
+
b
)
x
+
a
b
=
(
x
+
a
)
(
x
+
b
)
x²+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)
x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)或
对于一个三项式若能象上边一样中间左侧上下相乘得
x
2
x²
x2，中间右侧上下相乘得
a
b
ab
ab，中间上下斜对角相乘之和为
(
a
+
b
)
x
(a+b)x
(a+b)x，则能进行分解.
【例14】分解因式：
x
2
−
5
x
−
14
x²-5x-14
x2−5x−14
解:原式=
(
x
−
7
)
(
x
+
2
)
(x-7)(x+2)
(x−7)(x+2)
八、待定系数法
【例15】分解因式：
x
2
+
3
x
y
+
2
y
2
+
4
x
+
5
y
+
3
x²+3xy+2y²+4x+5y+3
x2+3xy+2y2+4x+5y+3
解:
∵
x
2
+
3
x
y
+
2
y
2
=
(
x
+
y
)
(
x
+
2
y
)
∵x²+3xy+2y²=(x+y)(x+2y)
∵x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y) 设原式=
(
x
+
y
+
m
)
(
x
+
2
y
+
n
)
=
x
2
+
3
x
y
+
2
y
2
+
(
m
+
n
)
x
+
(
2
m
+
n
)
y
+
m
n
(x+y+m)(x+2y+n)=x²+3xy+2y²+(m+n)x+(2m+n)y+mn
(x+y+m)(x+2y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(2m+n)y+mn. 两边比较系数，得
{
m
+
n
=
4
2
m
+
n
=
5
m
n
=
3
\left\{\begin{aligned}m+n&=4\\2m+n&=5\\mn&=3\end{aligned}\right.
⎩
⎨
⎧m+n2m+nmn=4=5=3所以
{
m
=
1
n
=
3
\left\{\begin{aligned}m&=1\\n&=3\end{aligned}\right.
{mn=1=3
∴
∴
∴ 原式=
(
x
+
y
+
1
)
(
x
+
2
y
+
3
)
(x+y+1)(x+2y+3)
(x+y+1)(x+2y+3)
原文